Έπειτα από μια πολιορκία τριών ετών τα στρατεύματα του Κλαύδιου Μάρκου κατορθώνουν να κυριεύσουν τις Συρακούσες το 212π.Χ. Η υπεροχή της πόλης σε τεχνολογικά επιτεύγματα είναι μία από τις αιτίες της μακρόχρονης αντίστασης της. Για τους Ρωμαίους η δύναμη των πολιορκημένων οφειλόταν στο μυαλό ενός μηχανικού, που συνέλαβε και κατασκεύασε όλα τα αμυντικά έργα: το θεϊκό μυαλό του Αρχιμήδη.
Ο Αρχιμήδης περνά τα παιδικά του χρόνια δίπλα στη θάλασσα γευόμενος τις χαρές της. Παράλληλα το θεϊκό μυαλό του αφομοιώνει τις γνώσεις και τις εμπειρίες των λαών της Μεσογείου, όπως του πλοίου, το οποίο βουλιάζει όταν υπερφορτώνεται, ή του βουτηχτή που δένει πέτρες στα πόδια του για να πάει στο βυθό. Όλα αυτά τα μεταφέρει σε μαθηματική γλώσσα, δημιουργώντας την επιστήμη της Υδροστατικής. Υποθέτει ότι ένα υγρό έχει τέτοια φυσική ιδιότητα ώστε από τα μέρη του, τα οποία βρίσκονται ομοιόμορφα διατεταγμένα και συνεχή, το λιγότερο πιεζόμενο εξωθείται από το περισσότερο πιεζόμενο και κάθε ένα από τα μέρη του πιέζεται «κατά κάθετον» από το υγρό που βρίσκεται πάνω του.
Με αυτή την πρώτη αρχή ο Αρχιμήδης συμπεραίνει πρώτα πως η επιφάνεια ενός υγρού εν ηρεμία είναι σφαιρική και το κέντρο αυτής της σφαίρας συμπίπτει με το κέντρο της Γης. Μετά αποδεικνύει πως στερεά μεγέθη ισοβαρή με το υγρό, όταν αφεθούν σε αυτό, θα βυθιστούν τόσο ώστε να μην εξέχουν από την επιφάνεια του υγρού και να μην κατέβουν προς τα κάτω. Τώρα πια είναι σε θέση να διατυπώσει δύο θεωρήματα της Υδροστατικής. Τα ελαφρότερα του υγρού στερεά που βρίσκονται στο υγρό φέρονται με τόση δύναμη προς τα άνω όσο είναι το βάρος, ενώ τα βαρύτερα του υγρού στερεά φέρονται προς τα κάτω.
Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη αρχή του, ότι τα ευρισκόμενα στο υγρό σώματα, ωθούμενα προς τα άνω, διευθύνονται κατά την κατακόρυφον διερχόμενη από το κέντρο βάρους τους, αποδεικνύεται ότι αν κάθε τμήμα σφαίρας, ελαφρύτερο του υγρού, αφεθεί στο υγρό, η βάση του θα πάρει τέτοια θέση ισορροπίας ώστε ο άξονας του τμήματος να είναι κατακόρυφος.
Στην καθαρά γεωμετρική πραγματεία του «Περί Ελίκων» ο Αρχιμήδης εισάγει, πέρα από τα κλασικά γεωμετρικά μεγέθη, το μέγεθος του χρόνου και δίδει κινηματικό ορισμό της έλικας και της εφαπτομένης της. Ο μεγάλος μαθηματικός πρωτοτυπεί θέλοντας να αποδείξει πως το εμβαδόν της επιφάνειας που περιλαμβάνεται κάτω από την έλικα η οποία γράφεται κατά την πρώτη περιφορά ισούται με το 1/3 του πρώτου κύκλου. Επιλέγει όλο και μικρότερους κυκλικούς τομείς, ώστε η διαφορά ανάμεσα στο εμβαδόν που βρίσκεται κάτω από το τόξο της έλικας και στο άθροισμα του εμβαδού του πεπερασμένου πλήθους εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κυκλικών τομέων, να μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιοδήποτε δεδομένο μέγεθος.
Ο Αρχιμήδης δεν έχει καμιά προκατάληψη. Ξέρει να «δανείζεται» με επιτυχία από διαφορετικούς κλάδους της επιστήμης. Έχει μετασχηματίσει τη μεθοδολογία της μηχανικής, που χρησιμοποιεί στη «Μέθοδο», και δεν αναλύει το τμήμα της παραβολής σε μια απειρία ευθειών, αλλά εγγράφει και περιγράφει δύο ακολουθίες από τραπέζια καταλήγοντας ότι αφού το σχήμα δεν είναι ούτε μεγαλύτερο του 1/3 ούτε μικρότερο του 1/3 του τραπεζίου, τότε θα είναι ίσο με το 1/3 του τραπεζίου. Αυτή η συσχέτιση στατικής και γεωμετρίας θα συνοδεύει τη σκέψη του και «ζυγίζοντας» το παραβολικό τμήμα θα συμπεράνει πως ισούται με τα 4/3 του τριγώνου ίδιας βάσης και ίδιου ύψους.
Στο βιβλίο του «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου» δίνει έξι αξιώματα οι οποίοι αφορούν στους ορισμούς: κοίλων και κυρτών γραμμών, επιφάνειας στερεού τομέως και στερεού ρόμβου. Το 5ο κατά σειρά είναι το περίφημο αξίωμα της συνέχειας ή το αξίωμα το Αρχιμήδη, όπου αναφέρει ότι αν είχαμε δύο άνισες γραμμές, ή άνισες επιφάνειες, ή άνισα στερεά και το μεγαλύτερο από αυτά διαφέρει από το μικρότερο κατά ποσότητα οσονδήποτε μικρή, αν η μικρή αυτή ποσότητα επαναληφθεί πολλές φορές θα φτάσει στιγμή κατά την οποία θα γίνει μεγαλύτερη του αρχικώς ληφθέντος μεγαλύτερου μεγέθους.
Έπειτα από 32 θεωρήματα ο Αρχιμήδης υπολογίζει την επιφάνεια και τον όγκο της σφαίρας. Μάλιστα τα θεωρούσε τόσο σημαντικά ώστε ζήτησε από τους δικούς του όταν πεθάνει να τοποθετήσουν στον τάφο του επιτύμβια στήλη απεικονίζοντας την εγγεγραμμένη σφαίρα στον κύλινδρο και να γραφεί ο λόγος των δύο στερεών.
Στην πραγματεία του «Περί Σφαιροειδών και Κωνοειδών» εισάγει τρία καινούργια στερεά εκ περιστροφής: το ελλειψοειδές, το παραβολοειδές και το το υπερβολοειδές. Έχοντας μελετήσει τις επίπεδες τομές, τα εφαπτόμενα επίπεδα και τους ασυμπτωτικούς κώνους, αναλύει τα στερεά σε παράλληλα ισόπαχα στρώματα και υπολογίζει αυτούς τους όγκους καθ΄υπέρβασιν και κατ΄έλλειψιν, αντικαθιστώντας κάθε στρώμα από ένα κύλινδρο περιγεγραμμένο και εγγεγραμμένο στο στερεό.
Ο Πλούταρχος ο οποίος σπούδασε μαθηματικά, παραθέτει ένα διαχρονικό χαρακτηρισμό για την επιστημονική προσφορά του Συρακούσιου: «Ο Αρχιμήδης είχε τόσο μεγάλο φρόνημα και τέτοιο βάθος ψυχής και τόσο πλούτο θεωρημάτων ώστε για τα έργα, από τα οποία απέκτησε όνομα και δόξα όχι ανθρώπινης αλλά κάποιας θείας νοημοσύνης, δεν θέλησε να αφήσει σύγγραμμα, αλλά επειδή θεωρούσε την απασχόληση στα μηχανικά καθώς και κάθε τέχνη που υπηρετεί τις ανάγκες της ζωής εξευτελιστική και βάναυση, σε κείνα μονάχα περιόρισε το ζήλο του, σε όσα υπάρχει το ”ωραίο” και το ”τέλειο”, χωρίς να αναμιγνύεται το ”αναγκαίο” και σε όσα, ενώ δεν μπορούν να συγκριθούν με όλα τα άλλα, η ύλη βρίσκεται σε άμιλλα με την απόδειξη, γιατί η μία δίνει την ομορφιά και το μέγεθος και η άλλη την ακρίβεια και την υπερφυσική δύναμη. Σε όλη την γεωμετρία δεν μπορούν να βρεθούν δυσκολότερες και βαθύτερες θεμελιώδεις προτάσεις διατυπωμένες απλούστερα και καθαρότερα από τη μέθοδο του Αρχιμήδη».