Στοιχεία του Ευκλείδη του Αλεξανδρινού

Ο Ευκλείδης είναι μία από τις σπάνιες περιπτώσεις διανοουμένων στην παγκόσμια κλίμακα. Για το έργο του γνωρίζουμε πολλά πράγματα. Για τη ζωή του ελάχιστα. Αυτό μπορεί να οφείλεται στη σπουδαιότητα του έργου του για τους συγχρόνους του αλλά και τους μεταγενέστερους. Ο Ευκλείδης ήταν Έλληνας αλλά έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου τον 4ο και 3ο αιώνα π.Χ. Το πιο σημαντικό του έργο είναι τα «Στοιχεία» του. Πολλοί αρχαίοι επιστήμονες των μαθηματικών τεχνών τιτλοφορούσαν τα γραπτά τους με τον όρο «Στοιχεία».

Ο Ευκλείδης όμως παρουσίασε τα δικά του «Στοιχεία» με τέτοιον τρόπο που υπήρξε ανυπέρβλητος και αποτέλεσε πρότυπο δομημένου επιστημονικού λόγου. Σε αυτό το έργο ο Ευκλείδης κατάφερε να συνδέσει ένα μεγάλο πλήθος μαθηματικών ανακαλύψεων, που έγιναν σε μια μακρά χρονική διαδρομή, με τέτοιον τρόπο, ώστε κάθε μία από αυτές να προκύπτει από τις προηγούμενες με λογικά συνεπή τρόπο, με αιτιολογημένο επιστημονικά λόγο και συλλογισμούς, οι οποίοι να μην αφήνουν λογικά χάσματα και απορίες. Τα «Στοιχεία» διακρίνονται για την αρμονία στη σύνταξη και την παράθεση των θεωρημάτων, για την προσεκτική χρήση βασικών προτάσεων, οι οποίες θεωρούνται αληθείς χωρίς να είναι δυνατόν να αποδειχθούν – για παράδειγμα: από δύο δεδομένα σημεία διέρχεται μία και μοναδική ευθεία- και γι ατην υποδειγματική αξιοποίηση της μεγάλης ανακάλυψης των Ελλήνων της έννοιας της απόδειξης.

Παρά τη σπουδαιότητα των «Στοιχείων», από την εφεύρεση της τυπογραφίας μέχρι το 1952-1953, 500 χρόνια μετά την Άλωση της Κωνσταντινούπολης, το έργο αυτό δεν είχε εκδοθεί ποτέ ολόκληρο στη νεότερη ελληνική γλώσσα από Έλληνες για Έλληνες.

Στα «Στοιχεία δεν υπήρχε ένας πρόλογος ή ένα εκτενές σημείωμα, το οποίο να εκφράζει τους σκοπούς του συγγραφέα, ποιες είναι οι δικές του ανακαλύψεις, ποιες είναι οι πηγές του και γενικά να δίνει πληροφορίες που να διαφωτίζουν την ιστορική και τη βιβλιογραφική έρευνα. Το πρώτο βιβλίο αρχίζει με την παράθεση 23 όρων, δηλαδή ορισμών των βασικών εννοιών, όπως είναι το τρίγωνο, η γωνία, ο κύκλος, το σημείο. κτλ. Ακολουθούν 5 αιτήματα, τα οποία είναι αυταπόδεικτες παραδοχές, που επιτρέπουν την κατασκευή των γεωμετρικών σχημάτων. Συνεχίζει με κοινές έννοιες, που σήμερα τα ονομάζουμε «αξιώματα», δηλαδή αναπόδεικτες προτάσεις για να αναπτυχθεί ο συλλογισμός πάνω στην ορθότητα ή μη των υπολοίπων προτάσεων. Στη συνέχεια ακολουθούν μαθηματικές προτάσεις που προκύπτουν ως λογικά επακόλουθα των προηγούμενων προτάσεων, τα αποκαλούμενα «θεωρήματα» και κάποιες δευτερεύουσες προτάσεις, τα «πορίσματα», οι οποίες είναι προτάσεςι που προκύπτουν άμεσα από τα θεωρήματα.

Το ίδιο τρόπο δόμησης ακολουθούν και τα υπόλοιπα δώδεκα βιβλία των «Στοιχείων», χωρίς όμως να εμφανίζονται άλλες κοινές έννοιες. Το 3ο βιβλίο αφιερώνεται στους ασύμμετρους αριθμούς και αποτελεί ένα διαμάντι του θησαυρού των ελληνικών μαθηματικών. Στο 9ο βιβλίο εμφανίζεται ο λεγόμενο ευκλείδειος αλγόριθμος, μια διαδικασία για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο ή περισσότερων αριθμών. Στο 13ο βιβλίο ο Ευκλείδης αναπτύσσει μια αριστοτεχνική χρήση της μεθόδου της εξάντλησης. Η μέθοδος αυτή συνίσταται στην επ΄άπειρον προσέγγιση σχημάτων από άλλα απλούστερα. Με αυτή τη μέθοδο ο Ευκλείδης απέδειξε ότι τα εμβαδά δύο κύκλων είναι ανάλογα με τα τετράγωνα των διαμέτρων τους. Η μέθοδος της εξάντλησης αποτέλεσε τη βάση πάνω στην οποία χτίστηκε το οικοδόμημα του ολοκληρωτικού λογισμού δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ευκλείδη και τον Αρχιμήδη.

Με τα αιτήματα του ο Ευκλείδης εμμέσως πλην σαφώς απαιτεί οι κατασκευές των γεωμετρικών σχημάτων να πραγματοποιούνται με τον κανόνα και τον διαβήτη. Οι απαιτήσεις αυτές έχουν μακρά παράδοση στα ελληνικά μαθηματικά και υποθέτουμε ότι πρόκειται για φιλοσοφικό στόχο των Ελλήνων να αναγάγουν τα πάντα σε ελάχιστες απλές γενικές αρχές, σε έννοιες και ενέργειες, οι οποίες όμως, παρά τη μεταφυσική χροιά που μπορεί να τους αποδοθεί, βασίζονται στην υλική πραγματικότητα της ανθρώπινης κοινωνίας και του φυσικού κόσμου.

Τα «Στοιχεία» περιέχουν συνολικά 465 θεωρήματα και γεωμετρικές κατασκευές, τα οποία συνθέτουν αρμονικά ένα μέρος των ανακαλύψεων των μαθηματικών έως την εποχή του Ευκλείδη, αλλά και του ίδιου του Ευκλείδη.

Ο τελικός σκοπός των «Στοιχείων», σύμφωνα με τους αρχαίους σχολιαστές, πιθανόν να ήταν η μαθηματική απόδειξη της ύπαρξης μόνο 5 κανονικών στερεών, δηλαδή στερεών οι έδρες των οποίων είναι ίσα πολύγωνα, με όλες τις πλευρές και τις γωνίες τους ίσες. Οι Έλληνες θεωρούσαν ότι τα κανονικά στερεά αποτελούν τα ιδεατά πρότυπα των δομικών στοιχείων του Σύμπαντος. Αυτή είναι η αιτία που τα ερεύνησαν επιστημονικά και για τον ίδιο λόγο κατέχουν θέση κατακλείδος στα «Στοιχεία».

Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη έχουν τέτοια αυτονομία και τέτοια πληρότητα που για αιώνες αποτέλεσαν όχι μόνο πρότυπο συγγραφής επιστημονικού έργου αλλά και πηγή εμπνεύσεων και γόνιμων ιδεών και για πνευματική δημιουργία σε θέματα εντελώς άσχετων με τη γεωμετρία.