Οι Πυθαγόρειοι και η Σχολή τους

Ο Πυθαγόρας καταγόταν από τη Σάμο. Αφού ταξίδεψε στην Αίγυπτο και την Βαβυλώνα, επέστρεψε στη γενέτειρα του. Μη μπορώντας όμως να ανεχθεί την τυραννία του Πολυκράτη, έφυγε και εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Εκεί ίδρυσε τη Σχολή του, στην οποία κατόπιν αυστηρής επιλογής γίνονταν δεκτοί άνδρες και γυναίκες. Κατά τον Ιάμβλιχο οι μαθητές, οι Πυθαγόρειοι, διακρίνονταν σε «μαθηματικούς», οι οποίοι είχαν μάθει επακριβώς την επιστημονική διδασκαλία του, και σε «ακουσματικούς», οι οποίο απλώς είχαν ακούσει χωρίς ακρίβεια και λεπτομέρειες τα βασικότερα σημεία της διδασκαλίας.

Το τέλος της Σχολής σήμανε όταν άρχισε η καταδίωξη των Πυθαγορείων από τον Κύλωνα, ο οποίος δεν έγινε δεκτός λόγω του κακού χαρακτήρα του. Ο Πυθαγόρας αναγκάστηκε να φύγει στο Μεταπόντιο. Οι μαθητές του όμως περικυκλώθηκαν στην οικία του Μίλωνος από τον Κύλωνα και τους οπαδούς του, οι οποίοι πυρπόλησαν την οικία και την κατέκαυσαν. Διέφυγαν μόνο ο Άρχιππος και ο Λύσις, που ήταν νέοι και εύρωστοι.

Οι Πυθαγόρειοι και η Σχολή τους
Ο Πυθαγόρας

Οι Πυθαγόρειοι, η Σχολή και τα μαθήματα

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Η συμβολή του Πυθαγόρα και των μαθητών του υπήρξε καθοριστική για την ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της αστρονομίας. Ο Πρόκλος αποδίδει στον Πυθαγόρα την αναγωγή της γεωμετρίας από εμπειρική γνώση σε θεωρητική επιστήμη. Λέει ότι αυτός τη μετέτρεψε σε σχήμα ελεύθερης παιδείας, εξετάζοντας τις αρχές της άνωθεν και διερευνώμενος τα θεωρήματα της αΰλως και νοερώς. Δηλαδή, με τον Πυθαγόρα αρχίζει η διαμόρφωση του θεωρητικού πλαισίου της γεωμετρίας, το οποίο λαμβάνει την τελική μορφή στα «Στοιχεία του Ευκλείδη».

Μολονότι ο ίδιος δεν άφησε συγγράμματα, του αποδίδονται ορισμένες σημαντικές ανακαλύψεις. Πρώτη απ΄όλες το γνωστό μας «Πυθαγόρειο θεώρημα»: σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμά των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του ισούται με το τετράγωνο της υποτεινούσης του. Το γεγονός ότι σε βαβυλωνιακά αρχεία αναγνωρίστηκαν τριάδες αριθμών που ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα και απέδειξε αυστηρώς ότι αυτή η σχέση ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, ανεξαρτήτως του είδους του και το μήκος των πλευρών του.

Η φύση του αριθμού

Καθοριστική για τη θεμελίωση και την εξέλιξη των μαθηματικών είναι η δεσπόζουσα θέση την οποία κατέχει ο αριθμός τη πυθαγόρεια φιλοσοφία. Κατά τον Αριστοτέλη, οι Πυθαγόρειοι έβλεπαν πολλά γεγονότα στον κόσμο να μοιάζουν στους αριθμούς, τους λόγους και τις αναλογίες τους, και γενικώς τα «πάθη» τους. Κατέληξαν, λοιπόν, ότι τα στοιχεία των αριθμών είναι και στοιχεία των όντων και ότι ο ουρανός ολόκληρος, δηλαδή ο κόσμος, είναι αρμονία και αριθμός. Στοιχεία του αριθμού θεωρούσαν το περιττό, που αντιστοιχούσε στο πεπερασμένο, και το άρτιο που αντιστοιχούσε στο άπειρο.

Κατά το Διογένη τον Λαέρτιο, ο Πυθαγόρας θεωρούσε ως πρώτη αρχή του κόσμου τη «μονάδα», από την οποία απορρέει η «αόριστος δυάς». Από αυτές παράγονται οι αριθμοί, από τους αριθμούς τα σημεία, από τα σημεία οι γραμμές, από τις γραμμές τα επίπεδα σχήματα, από τα επίπεδα σχήματα γίνονται τα στερεά σχήματα και, τέλος, τα αισθητά.

Σύνθεση των αντιθέτων

Η άποψη του Φιλολάου, ότι «η φύση στον κόσμο έχει αρμοσθεί από άπειρα και πεπερασμένα» σημαίνει ότι αυτή αποτελεί σύνθεση των αντιθέτων. Τούτο γίνεται καλύτερα κατανοητό από την αναφορά του Αριστοτέλους στις δέκα αρχές «κατά συστοιχίαν», οι οποίες στους πυθαγόρειους:

  • πέρας και άπειρον
  • περιττόν και άρτιον
  • εν και πλήθος
  • δεξιόν και αριστερόν
  • άρρεν και θήλυ
  • ηρεμούν και κινούμενον
  • ευθύ και καμπύλον
  • φως και σκότος
  • αγαθόν και κακόν
  • τετράγωνον και ετερόμηκες

Η συνύπαρξη των αντιθέσεων δημιουργεί την κοσμική αρμονία. Η αρμονία είναι αναγκαία για να συγκλείει τα «ανόμοια, ετερόφυλα και μη ισοταγή». Πρόκειται για μια δυαστική άποψη περί του κόσμου, με διαχρονικές και θεολογικές αντιλήψεις μας. Τούτο φαίνεται και από τις πληροφορίες του Ιωάννου Στοβαίου, ότι ο Πυθαγόρας δίδασκε ότι μονάς είναι ο Θεός και το αγαθό, αντιστοιχεί δε στο ποιητικό αίτιο και το ειδικό, το οποίο είναι ο νους. Ενώ η αόριστος δυάς είναι ο δαίμων και το κακό, αντιστοιχεί δε στο παθητικό και το υλικό αίτιο, το οποίο είναι ο ορατός κόσμος. Θεωρούσε ακόμη ότι ο κόσμος είναι γενητός «κατ΄επίνοιαν» (κατά σχέδιον) και όχι κατά χρόνον.

Η τετρακτύς

Στο Περί φύσιος έργο του ο Φιλόλαος λέει ότι «η δύναμη της δεκάδος είναι μεγάλη και τέλεια και παντουργός αρχή και του θείου και του ανθρώπινου βίου… χωρίς αυτήν, δε, τα πάντα θα ήσαν άπειρα και άδηλα και αφανή». Ο Αριστοτέλης βεβαιώνει ότι οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τέλεια τη δεκάδα και μάλιστα ότι αυτή έχει συμπεριλάβει τη φύση των αριθμών. Επειδή όμως η τελειότητα είναι ιδιότητα του θείου, η δεκάδα καθίσταται ιερή. Η ιερή δεκάδα είναι το άθροισμα των πρώτων διαδοχικών αριθμών: 1+2+3+4=10.

Ο Αέτιος σωστά επισημαίνει ότι τούτο σχετίζεται με το δεκαδικό σύστημα αριθμήσεως που χρησιμοποιούσαν οι Έλληνες και οι άλλοι. Κατά τον Πλούταρχο υπήρχε και μεγάλη τετρακτύς, ο αριθμός 36, ο οποίος προκύπτει ως άθροισμά των τεσσάρων πρώτων περιττών και αρτίων αριθμών, ήτοι: (1+2+3+5+7)+(2+4+6+8)=36.

Η ιερή δεκάδα υπεισέρχεται και στη δομή του κόσμου. Στο Φιλολάειο σύστημα δέκα τροχιές γύρω από το κεντρικό πυρ διαγράφουν τα ουράνια σώματα, ήτοι η αντιχθίων, η γη, η σελήνη, ο ήλιος, οι πέντε πλανήτες και η σφαίρα των απλανών αστέρων.

Η θεωρία των αριθμών

Οι Πυθαγόρειοι, με τις συστηματικές έρευνες τους για τις ιδιότητες των αριθμών, έθεσαν τις βάσεις της Θεωρίας αριθμών. Την αριθμοθεωρία τους διασώζει ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του. Γνώριζαν τρία βασικά θεωρήματα: το άθροισμα δύο άρτιων είναι άρτιος αριθμός, το γινόμενο δύο περιττών αριθμών είναι περιττός αριθμός και ότι εάν ένας περιττός αριθμός διαιρεί έναν άρτιο, τότε διαιρεί και το ήμισυ του.

Αναζητούσαν επίσης ειδικές περιπτώσεις αριθμών, βάσει των σχέσεων των διαιρετών τους. Έτσι ονόμαζαν «φίλους» τα ζεύγη αριθμών, όπου καθένας ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετέων του άλλου. παράδειγμα φίλων αριθμών είναι οι 220 και 284. «Τέλειον» αριθμό καλούσαν εκείνον ο οποίος ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετέων του: παράδειγμα ο 6, διότι οι γνήσιοι διαιρέτες του 3,2,1 έχουν άθροισμα 3+2+1=6. Η έρευνα των τέλειων αριθμών, οι οποίοι είναι εξαιρετικά σπάνιοι, συνεχίζεται μέχρι σήμερα. Πέραν αυτών, οι Πυθαγόρειοι παρίσταναν ορισμένους αριθμούς με κανονικά πολύγωνα. Έτσι είχαν αριθμούς τρίγωνους (π.χ. 1,3,6), τετράγωνους (π.χ. 1,4,9), πεντάγωνους (π.χ. 1,5,12), κλπ.

Τα κοσμικά σώματα (στερεά)

Στον Πυθαγόρα αποδίδονται επίσης η κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου με βάση ένα περιττό αριθμό. Η κατασκευή ενός σχήματος, το οποίο να είναι μεν όμοιο προς ένα από δύο δοθέντα σχήματα, ίσο δε προς το άλλο, και τέλος η κατασκευή των πέντε κανονικών πολύεδρων (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο) τα οποία είναι τα μόνα εγγράψιμα σε σφαίρα. Θεωρούσε, μάλιστα, ότι από αυτά έγιναν τα πρώτα στοιχεία του κόσμου κατά την αντιστοιχία: τετράεδρο-πυρ, κύβος-γη, οκτάεδρο-αήρ, εικοσάεδρο-ύδωρ, δωδεκάεδρο-σφαίρα, του παντός, και ότι από τους μετασχηματισμούς τους έγινε ο κόσμος.

Οι άρρητοι αριθμοί

Το δωδεκάεδρο έχει συνδεθεί με τον Ίππασο τον Μεταποντίνο, ο οποίος λέγεται ότι αποκάλυψε το θεώρημα της εγγραφής του σε σφαίρα, για να σφετεριστεί τη δόξα της ανακαλύψεως αντί του Πυθαγόρα. Γι΄αυτή την ασέβεια πνίγηκε τελικώς στη θάλασσα. Κατ΄άλλους αποκάλυψε την ύπαρξη των άρρητων αριθμών στην οποία έφθασε ο Πυθαγόρας εφαρμόζοντας το θεώρημα του στην περίπτωση ενός τετραγώνου. Δηλαδή, η διαγώνιος ενός τετραγώνου το διαιρεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα. Βάσει του πυθαγορείου θεωρήματος, το τετράγωνο της διαγωνίου ισούται με το τριπλάσιο του τετραγώνου της πλευράς. Αν η πλευρά ισούται με τη μονάδα, τότε το τετράγωνο της διαγωνίου ισούται με 2. άρα, η διαγώνιος πρέπει να να ισούται με έναν αριθμό, ο οποίος υψούμενος στο τετράγωνο δίνει 2. Στην αρχαιότητα δεν υπήρχε τρόπος να υπολογισθεί και να διατυπωθεί ένας τέτοιος αριθμός: δηλαδή ήταν «άρρητος» αριθμητικώς. Σήμερα εμείς τον συμβολίζουμε με √2. Στην κατηγορία αυτή ανήκουν γενικώς οι αριθμοί που δεν είναι τέλειο τετράγωνο κάποιου αριθμού.

Η μουσική κλίμακα

Για την ανακάλυψη και τη διαμόρφωση της μουσικής κλίμακας από τον Πυθαγόρα ο Ιάμβλιχος διασώζει την εξής ιστορία: Περνώντας κάποτε έξω από ένα χαλκουργείο ο Πυθαγόρας άκουσε συμφώνους ήχους, καθώς τα σφυριά χτυπούσαν πάνω στον άκμονα. Μπήκε μέσα και πειραματιζόμενος ανακάλυψε ότι η διαφορά των ήχων ήταν ανεξάρτητη από τη δύναμη των χτυπημάτων και το σχήμα των σφυριών. Κατασκεύασε λοιπόν τέσσερις χορδές από το ίδιο υλικό, ισομεγέθεις, ισοπαχείς και ομαλώς στριμμένες τις στερέωσε άνω κατά το ένα άκρο τους και έδεσε βάρη στο ελεύθερο κάτω άκρο, διατηρώντας ίσα τα μήκη τους. Κατόπιν, κρούοντας τις χορδές ανά δύο εύρισκε τις συμφωνίες των ήχων. Έτσι ανακάλυψε τη μουσική κλίμακα.

Κατ΄ άλλους ο Πυθαγόρας ανακάλυψε ότι η συμφωνία των ήχων προερχόταν από τα βάρη των σφυριών, τα οποία ήταν ανάλογα των αριθμών 12, 9, 8 και 6και έδιναν τα διαστήματα τέταρτης, πέμπτης και διαπασών. Πειραματιζόμενος ανακάλυψε τη σχέση μεταξύ του μήκους μιας παλλόμενης χορδής και του παραγόμενου από αυτήν τόνου. Έκτοτε η μελέτη της μουσικής έγινε μελέτη των λόγων των διαστημάτων.

Οι Πυθαγόρειοι με την αντίληψη ότι γεωμετρία, αριθμητική, σφαιρική αστρονομία και μουσική είναι «μαθήματα αδελφεά» και την προσπάθεια τους να περιγράψουν τη φύση μέσω των αριθμών και των ιδιοτήτων τους, έθεσαν τις βάσεις των θετικών επιστημών.

3 Σχόλια

  1. […] Οι Πυθαγόρειοι και η Σχολή τους 15 Σεπτεμβρίου 2020 […]

  2. […] Οι Πυθαγόρειοι και η Σχολή τους 15 Σεπτεμβρίου 2020 […]

  3. […] Ο Αναξιμένης ήταν Μιλήσιος, γιος του Ευρυστράτου. Είχε δάσκαλο τον Αναξίμανδρο κάποιοι όμως ισχυρίζονται πως άκουσε μαθήματα και από τον Παρμενίδη. Θεώρησε ως αρχή τον αέρα και το άπειρο. Έλεγε επίσης πως τα αστέρια κινούνται γύρω και όχι κάτω από τη γη. Είχε στείλει και δύο επιστολές στον Πυθαγόρα. […]

Υποβολή απάντησης

error

Enjoy this blog? Please spread the word :)